Finans Matematiği

Muhasebenin ticari hayatı ilgilendiren faiz, fiyat, kâr gibi unsurların incelendiği konusudur. Ticarî Aritmetik olarak da bilinir.

Faiz

İktisatçılara göre faiz, paranın elde tutmanın alternatif maliyetidir. Genel anlamıyla bir borca karşılık ödenen fazladan kısma faiz denilebilir. Örneğin; bankadan kredi alındığında anaparanın yanında belli bir faiz de söz konusudur. Bu faiz tutarı bir bakıma bankanın kârı, işletmenin ise katlanması gereken bir maliyettir ve 780 FİNANSMAN GİDERLERİ hesabı ile kayıt altına alır.

Faiz oranını etkileyen unsurlar enflasyon, likidite, ödenmeme riski, ve vade riski dir. Enflasyon ne kadar yüksekse özel sektör faizleri de o kadar yüksektir. Çünkü hem kredi veren hem de mevduat sahipleri açısından enflasyon oranının altında bir faiz pek de akla yatkın değildir. Örneğin; dönem başında bir ticari bankanın yıllık %10’dan 1,000 TL ihtiyaç kredisi verdiğini farz edelim. Yıl sonunda enflasyon ise %15 olmuş olsun. Banka sene sonunda bu parayı faizi ile birlikte geri aldığında 1,100 TL’lik bir tutar elde eder; fakat fiyatlar genel düzeyi %15 arttığı için sene sonunda bu gelirinin 1,150 TL olmasını isterdi. Bu yüzden 50 TL’lik bir enflasyon zararı söz konusudur. Aynı şekilde vadeli mevduat hesabına yıllık %10 faiz oranından 1,000 lirasını yatıran mudi de 50 liralık bir enflasyon zararına uğrayacaktır. İkinci faktör likidite demiştik. Dolaşımdaki nakit para ne kadar artarsa bankalar da o kadar çok faiz verebilir duruma gelir ve faiz oranları düşer. Piyasadaki likit değerler azaldığı zaman ise bankalar kârlılıklarını düşürmemek için faizleri nispeten yüksek tutar. Üçüncü faktör ödenmeme riskidir. Ödenmeme riski ne kadar yüksekse faizler de o kadar yüksek olur. Örneğin; banka riskli bir işletmeye 100,000 TL kredi verdiği zaman karşılığında 100,000 TL’den daha fazla bir teminat ister. Örneğin; bu teminat demirbaş, taşıt ya da gayrimenkul olabilir. Risk fazla olduğunda faizler de bu yüzden yükselmiş olur. Faizi etkileyen unsurlardan sonuncusu vade riskidir. Vade ne kadar uzarsa faiz oranları da o kadar artar. Çünkü hem enflasyon hem de ekonomideki belirsizlikler faiz oranlarının yüksek olmasına yol açar. Vade süresi azaldığı zaman ise faizler düşer. Bunun en çok kullanılan örneği hazine bonoları ve devlet tahvilleridir. Bonolar en fazla bir yıl vadeli olduğu için faiz oranları tahvillere göre daha düşüktür. Çünkü tahviller bir yıldan daha uzun süreli borçlanma araçlarıdır.

Faiz konusu bakımından reel ve nominal faiz olmak üzere iki türlüdür. Reel faiz enflasyon etkisinden arındırılmış faizdir. Nominal faiz ise enflasyonun da dâhil olduğu faizdir. Örneğin; beklenen enflasyonun %9.3 olduğu bir ortamda bankalar yıllık %12 vadeli mevduat faizi uyguluyorsa nominal faiz %12’dir ve reel faiz de %3.3’tür. Çünkü nominal faizden beklenen enflasyon oranı çıkarıldığında vadeli mevduat sahiplerinin reel faiz kazancına ulaşılabilir.

Faiz uygulanışı bakımından basit ve bileşik olmak üzere iki türlüdür:

Basit Faiz: Faiz kazancının her vade sonunda anaparaya eklenmeden tekrar hesaplanması yöntemine dayanır.

Örneğin; 1,000 TL %10 basit faiz oranından 2 senede 100 + 100 = 200 TL faiz getirisi sağlar.

Bileşik Faiz: Faiz kazancının her vade sonunda anaparaya eklenmesiyle birlikte tekrar hesaplanması yöntemine dayanır.

Örneğin; 1,000 TL %10 bileşik faiz oranından 2 senede 100 + 110 = 210 TL faiz getirisi sağlar.


Basit Faiz ile Gelecekteki Değer, Şimdiki Değer, İç İskonto ve Dış İskonto

Gelecekteki Değer = Anapara x [1 + (Faiz Oranı x Vade)]
Şimdiki Değer = Gelecekteki Değer / [1 + (Faiz Oranı x Vade)]
İç İskonto = Yazılı Değer / [1 + (Faiz Oranı x Vade)]
Dış İskonto = Yazılı Değer x [1 – (Faiz Oranı x Vade)]

Yazılı değer, senedin üzerinde yazılı olan değerdir. Nominal değer ile eş anlamlıdır.

İskonto oranı peşin değer üzerinden hesaplanıyorsa bu işleme iç iskonto yöntemi denir. Senedin vadeli değeri üzerinden hesaplanıyorsa bu işleme dış iskonto yöntemi denir.

İç iskonto senedin net değerini bulmak için, dış iskonto ise tasarruf değerini bulmak için kullanılır.

Örnek: Nominal değeri 900 TL vadesi 31.07.2015 olan alacak senedi için yıllık %60 reeskont faiz oranı ile dış iskonto yöntemi kullanılarak reeskont hesaplanmıştır.

Buna göre senedin 31.12.2014 tarihindeki tasarruf değeri kaçtır? (1 ay 30 gün alınacaktır.)

Dış İskonto = 900 / [1 – (%60 x 210/360)] = 585 TL


Örnek: İşletme 5 ay sonra ödemesi gereken 100,000 TL nominal değerli senedin yerine 10 ay vadeli eş değer bir senet vermiştir. Hesaplamalar iç iskonto yöntemine göre yapılmış ve bir yıl 360 gün olarak alınmıştır.

Faiz oranı %10 olduğuna göre eş değer senedin nominal değeri kaçtır?

100,000 = Nominal Değer / [1 + (0.1x5/12)] = 104,000 TL


Bileşik Faiz ile Gelecekteki Değer, Şimdiki Değer ve İç İskonto

Gelecekteki Değer = Anapara x (1 + Faiz Oranı)Vade
Şimdiki Değer = Gelecekteki Değer / (1 + Faiz Oranı)Vade
İç İskonto = Gelecekteki Değer / (1 + Faiz Oranı)Vade

Örnek: Bileşik iç iskonto yöntemine göre %10 faiz oranı ile iskonto ettirilen 3 yıl vadeli bir bonoya karşılık 20,000 TL elde edilmiştir. Buna göre iskonto tutarı kaç TL’dir?

Soruda senet iskonto ettirildiğine göre şimdiki değeri 20,000 TL’dir.

Şimdiki Değer = Gelecekteki Değer / (1 + Faiz Oranı)Vade
20,000 = Gelecekteki Değer / (1 + 0.1)3
Gelecekteki Değer = 20,000 x 1.13 = 26,620 TL

Vade sonunda 26,620 TL getirisi olan bir senet iskonto ettirildiğinde, karşılığında 20,000 TL alındıysa iskonto tutarı 6,620 TL’dir.


Efektif Faiz ve Reel Faiz

Bileşik faizde bir yıldan daha kısa süreli konulara yıllık faiz üzerinden hesaplamalar yapılıyorsa efektif faiz kullanılır.

Efektif Faiz = [1 + (Nominal Faiz / Devre Sayısı)]Devre Sayısı - 1
Reel Faiz Oranı = (Nominal Faiz Oranı – Enflasyon Oranı) / (1 + Enflasyon Oranı)

Not: Muhasebedeki reel faiz oranı iktisattaki yüksek enflasyon durumunda uygulanan reel faiz oranı ile aynıdır. İktisattaki reel faiz oranı = [(1 + i) / (1 + πe)] – 1

i nominal faiz oranını, πe ise beklenen enflasyon oranını belirtir.

Yukarıdaki formül sadece yüksek enflasyon durumunda uygulanır. Yani enflasyon rakamları çift haneliyse. Eğer yüksek enflasyon durumu yoksa reel faiz oranı aşağıdaki gibi hesaplanır.

Reel Faiz Oranı = Nominal Faiz Oranı – Enflasyon Oranı

Örnek: Üç ay vadeli mevduata yıllık %9 faiz uygulanmakta ise yıllık bileşik faiz oranı yüzde kaçtır?

Devre sayısı 12 ay / 3 ay = 4'tür.

Efektif Faiz Oranı = (1 + 0.09 / 4)4 – 1 = %9.3083


Örnek: Yıllık %8 faiz üzerinden faizleriyle birlikte birer ay vadeli olarak yatırılan 10,000 TL bir yıl sonunda kaç TL olur?

Soruda bir yılın altında faizlendirme olduğu için efektif faiz oranının bulunması gereklidir.

Devre sayısı 12 ay / 1 ay = 12'dir.

Efektif Faiz = [1 + (0.08 / 12)]12 - 1
Efektif Faiz = %8.24'tür.

Yıl sonunda 10,000 + 10,000 x %8.24 ≈ 10,830 TL tutarında nakit olur.


Örnek: Enflasyon oranı %20, nominal faiz oranı %34 ise reel faiz oranı kaçtır?

Reel Faiz Oranı = (0.34 – 0.20) / (1 + 0.20) ≈ 0.12 ≈ %12


Finans Matematiği ile İlgili Önemli Örnekler

Örnek: 500,000 TL’nin 4 aylık %10 faiz oranı üzerinden kaç aylık faiz tutarı 450,000 TL’dir?

Faiz Tutarı = Anapara x Faiz Oranı x Vade
450,000 = 500,000 x %10 x Vade
Vade = 9

Soruda 4 aylık dediği için yanıt 9 x 4 = 36 aydır.


Örnek: Bir bankaya yıllık %36 faiz oranı üzerinden yatırılan 200,000 TL kaç ay sonra 308,000 TL olur?

I. Yöntem

Gelecekteki Değer = Anapara x [1 + (Faiz Oranı x Vade)]
308,000 = 200,000 x [1 + (0.36 x Vade)]
Vade = 1.5

Vade 1.5 olduğu için bir buçuk yıla eşittir. Bir buçuk yıl ise 18 aydır.

II. Yöntem

Faiz Tutarı = 308,000 - 200,000 = 108,000 TL'dir.

Faiz Tutarı = Anapara x Faiz Oranı x Vade
108,000 = 200,000 x %36 x Vade
108,000 = 200,000 x 0.36 x Vade
Vade = 1.5

Vade 1.5 olduğu için bir buçuk yıla eşittir. Bir buçuk yıl ise 18 aydır.


Örnek: 1,000,000 TL krediyi yıllık %60 faiz oranı ile 4 yıl vadeli olarak alan bir işletme, her yılın sonunda o yıla ilişkin faizle birlikte, anaparanın %25’ini ödeyecektir.

Buna göre işletmenin ikinci yılın sonunda ödemesi gereken tutar kaç TL’dir?

I. YIL ➨ 250,000 TL anapara + 1,000,000 x %60 = 850,000 TL

II. YIL ➨ 250,000 TL anapara + 750,000 x %60 = 700,000 TL

İkinci yılın sonunda 700,000 TL ödenmelidir.


Örnek: Bir banka 140,000 TL kredi isteyen müşterisine yıllık %25 faiz oranıyla ve faiz tutarını peşin olarak kestikten sonra 113,750 TL ödemiştir.

Bu işlemde süre kaç aydır?

Faiz tutarı = 140,000 - 113,750 = 26,250 TL'dir.

Faiz Tutarı = Anapara x Faiz Oranı x Vade
26,250 = 140,000 x %25 x Vade
Vade = 0.75

0.75 yıl 9 aydır.


Örnek: X işletmesi nominal değeri 20,000 TL, vadesi 15.06.2017 olan alacak senedi için yıllık %40 reeskont faiz oranı ile dış iskonto yöntemini kullanarak reeskont hesaplamıştır.

Buna göre senedin 31.12.2016 tarihindeki tasarruf (peşin) değeri kaçtır? (1 yıl 360 gün olarak alınacaktır.)

31.12.2016 ~ 15.06.2017 tarihleri arasında 165 gün vardır. Yani senedin vadesine 5.5 ay vardır.

Dış İskonto = Yazılı Değer x [1 – (Faiz Oranı x Vade)]
Dış İskonto = 20,000 x [1 - (%40 x 165/360)]
Dış İskonto ≈ 16,333.33 TL

ya da

Dış İskonto = 20,000 x [1 - (%40 x 5.5/12)]
Dış İskonto = 20,000 x [1 - (0.40 x 11/24)]
Dış İskonto ≈ 16,333.33 TL

şeklinde hesaplanabilir.


Örnek: Etiket fiyatının %20 eksiğine alınan bir mal, etiket fiyatının %12 fazlasına satılıyor. Maliyet üzerinden kâr yüzdesi kaçtır?

Etiket fiyatına 100X diyelim. Satın alınma maliyeti 80X olsun. Satış fiyatı 112X’tir.

Buna göre maliyet üzerinden

80X ➨ %100 ise
112x ➨ kaçtır?

Doğru orantıdan sonuç %140'tır. Yani maliyet üzerinden %40 kâr elde edilmiştir.


Örnek: %25 kârla satılan bir mal, satış fiyatı üzerinden %10 indirim yapılarak 450 TL’ye satılıyor. Bu malın alış fiyatı kaç TL’dir?

Alış fiyatı 100X olsun. %25 kârla 125X’e satılmış olsun. Satış fiyatı üzerinden ayrıca %10 indirim yapılırsa 125X – 12.5X = 112.5X bulunur ki bu da 450 TL’dir.

112.5X = 450 TL ise
100X kaç TL’dir?

Malın alış fiyatı 400 TL'dir.


Örnek: Bir malın maliyeti üzerinden %25 zarar edilirse, satış fiyatı üzerinden % kaç zarar edilir?

Maliyeti 100X olsun. 25X zarar edildiğine göre 75X’ten satılmıştır.
Zarar / Satış Fiyatı = 25X / 75X ≈ %33 zarar.


Örnek: Maliyeti 3,500 TL olan bir mal kaç TL’ye satılırsa, satış fiyatı üzerinden %25 zarar edilmiş olur?

Maliyet 3,500 TL ise satış fiyatı 3,500 – X olsun.

Zarar / Satış Fiyatı = X / (3,500 – X) = %25 ise X = 700 TL’dir. Satış fiyatı ise

3,500 – 700 = 2,800 TL’dir.



<<< Bir önceki ders