İstatistik derslerini tablet üzerinden çalışmanız şiddetle tavsiye olunur.

Momentler, Çarpıklık ve Basıklık

Momentler, çarpıklık (asimetri) ve basıklık bir serinin ortalamaya göre nasıl dağıldığını belirlemek için kullanılan temel istatistik ölçüleridir.

Moment
König Teoremi
Çarpıklık
Basıklık
SPSS'te Çarpıklık ve Basıklık

Moment

Terimlerin sıfırdan veya aritmetik ortalamadan sapmalarının çeşitli kuvvetlerine moment1 adı verilmektedir. Moment, bir serideki gözlem değerlerinin sıfırdan veya aritmetik ortalamadan farklarının kuvvetlerinin aritmetik ortalamasıdır.

İleri Okuma

Matematikte Momentler

Wikipedia

Matematik bilimi içinde moment kavramı fizik bilimi için ortaya çıkartılmış olan moment kavramından geliştirilmiştir. Bir bir reel değişkenin reel-değerli fonksiyon olan f(x)’in c değeri etrafında (n)inci momenti şöyle ifade edilir:

\[ \mu_n^{'} = \int_{-∞}^∞ (x-c)^n f(x) dx \]

Sıfır değeri etrafında olan momentler en basit olarak bir fonksiyonun momenti diye anılır.

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dalları için momentlerin ilgili olduğu fonksiyonlar bir rassal değişken için olasılık yoğunluk fonksiyonu ile ilgilidir. Bir olasılık yoğunluk fonksiyonun sıfır etrafındaki (n)inci momenti X’nin matematiksel beklentisidir. Ortalama μ etrafındaki momentler merkezsel momentler olarak adlandırılır. Bunlar bir fonksiyonun şeklini betimlerler.

Bir rassal değişken olan X’in olasılık dağılımının (n)inci merkezsel momenti şudur:

\[ \mu_n = E((X-\mu)^n) \]

Böylece birinci merkezsel moment 0 olur.

İkinci merkezsel moment varyans σ2 olur; bunun pozitif kare kökü standart sapma σ olur.

Momentler 2 gruba ayrılır:

  1. Sıfıra Göre Momentler
  2. Aritmetik Ortalamaya Göre Momentler

Sıfıra Göre Momentler

Anakütle Sıfıra Göre Momentleri

Basit Serilerde
Frekans Serlerinde
Grup. Serilerde
\[ M_1 = { \Sigma X_i \over N } \]
\[ M_1 = { \Sigma f_i X_i \over \Sigma f_i } \]
\[ M_1 = { \Sigma f_i m_i \over \Sigma f_i } \]
\[ M_2 = { \Sigma X_i^2 \over N } \]
\[ M_2 = { \Sigma f_i X_i^2 \over \Sigma f_i } \]
\[ M_2 = { \Sigma f_i m_i^2 \over \Sigma f_i } \]
\[ M_3 = { \Sigma X_i^3 \over N } \]
\[ M_3 = { \Sigma f_i X_i^3 \over \Sigma f_i } \]
\[ M_3 = { \Sigma f_i m_i^3 \over \Sigma f_i } \]
\[ M_4 = { \Sigma X_i^4 \over N } \]
\[ M_4 = { \Sigma f_i X_i^4 \over \Sigma f_i } \]
\[ M_4 = { \Sigma f_i m_i^4 \over \Sigma f_i } \]
\[ M_r = { \Sigma X_i^r \over N } \]
\[ M_r = { \Sigma f_i X_i^r \over \Sigma f_i } \]
\[ M_r = { \Sigma f_i m_i^r \over \Sigma f_i } \]

Örneklem Sıfıra Göre Momentleri

Basit Serilerde
Frekans Serlerinde
Grup. Serilerde
\[ M_1 = { \Sigma x_i \over n } \]
\[ M_1 = { \Sigma f_i x_i \over \Sigma f_i } \]
\[ M_1 = { \Sigma f_i m_i \over \Sigma f_i } \]
\[ M_2 = { \Sigma x_i^2 \over n } \]
\[ M_2 = { \Sigma f_i x_i^2 \over \Sigma f_i } \]
\[ M_2 = { \Sigma f_i m_i^2 \over \Sigma f_i } \]
\[ M_3 = { \Sigma x_i^3 \over n } \]
\[ M_3 = { \Sigma f_i x_i^3 \over \Sigma f_i } \]
\[ M_3 = { \Sigma f_i m_i^3 \over \Sigma f_i } \]
\[ M_4 = { \Sigma x_i^4 \over n } \]
\[ M_4 = { \Sigma f_i x_i^4 \over \Sigma f_i } \]
\[ M_4 = { \Sigma f_i m_i^4 \over \Sigma f_i } \]
\[ M_r = { \Sigma x_i^r \over n } \]
\[ M_r = { \Sigma f_i x_i^r \over \Sigma f_i } \]
\[ M_r = { \Sigma f_i m_i^r \over \Sigma f_i } \]

m: Sınıf Orta Sayısı, f: Frekans

M1: 1. Dereceden Moment, M4: 4. Dereceden Moment, Mr: r. Dereceden Moment

Aritmetik Ortalamaya Göre Momentler

Anakütle Aritmetik Ortalamaya Göre Momentleri

Basit Serilerde
Frekans Serlerinde
Grup. Serilerde
\[ M_1 = { \Sigma (X_i - \mu) \over N } \]
\[ M_1 = { \Sigma f_i (X_i - \mu) \over \Sigma f_i } \]
\[ M_1 = { \Sigma f_i (m_i - \mu) \over \Sigma f_i } \]
\[ M_2 = { \Sigma (X_i - \mu)^2 \over N } \]
\[ M_2 = { \Sigma f_i (X_i - \mu)^2 \over \Sigma f_i } \]
\[ M_2 = { \Sigma f_i (m_i - \mu)^2 \over \Sigma f_i } \]
\[ M_3 = { \Sigma (X_i - \mu)^3 \over N } \]
\[ M_3 = { \Sigma f_i (X_i - \mu)^3 \over \Sigma f_i } \]
\[ M_3 = { \Sigma f_i (m_i - \mu)^3 \over \Sigma f_i } \]
\[ M_4 = { \Sigma (X_i - \mu)^4 \over N } \]
\[ M_4 = { \Sigma f_i (X_i - \mu)^4 \over \Sigma f_i } \]
\[ M_4 = { \Sigma f_i (m_i - \mu)^4 \over \Sigma f_i } \]
\[ M_r = { \Sigma (X_i - \mu)^r \over N } \]
\[ M_r = { \Sigma f_i (X_i - \mu)^r \over \Sigma f_i } \]
\[ M_r = { \Sigma f_i (m_i - \mu)^r \over \Sigma f_i } \]

Örneklem Aritmetik Ortalamaya Göre Momentleri

Basit Serilerde
Frekans Serlerinde
Grup. Serilerde
\[ M_1 = { \Sigma (x_i - \bar x) \over n } \]
\[ M_1 = { \Sigma f_i (x_i - \bar x) \over \Sigma f_i } \]
\[ M_1 = { \Sigma f_i (m_i - \bar x) \over \Sigma f_i } \]
\[ M_2 = { \Sigma (x_i - \bar x)^2 \over n } \]
\[ M_2 = { \Sigma f_i (x_i - \bar x)^2 \over \Sigma f_i } \]
\[ M_2 = { \Sigma f_i (m_i - \bar x)^2 \over \Sigma f_i } \]
\[ M_3 = { \Sigma (x_i - \bar x)^3 \over n } \]
\[ M_3 = { \Sigma f_i (x_i - \bar x)^3 \over \Sigma f_i } \]
\[ M_3 = { \Sigma f_i (m_i - \bar x)^3 \over \Sigma f_i } \]
\[ M_4 = { \Sigma (x_i - \bar x)^4 \over n } \]
\[ M_4 = { \Sigma f_i (x_i - \bar x)^4 \over \Sigma f_i } \]
\[ M_4 = { \Sigma f_i (m_i - \bar x)^4 \over \Sigma f_i } \]
\[ M_r = { \Sigma (x_i - \bar x)^r \over n } \]
\[ M_r = { \Sigma f_i (x_i - \bar x)^r \over \Sigma f_i } \]
\[ M_r = { \Sigma f_i (m_i - \bar x)^r \over \Sigma f_i } \]

m: Sınıf Orta Sayısı, f: Frekans

M1: 1. Dereceden Moment, M4: 4. Dereceden Moment, Mr: r. Dereceden Moment


König Teoremi

Sıfıra göre momentler biliniyorsa, aritmetik ortalamaya göre momentler kolaylıkla hesaplanabilir. König Teoremi adı verilen momentler arasındaki ilişki şu şekildedir:

\[ \mu_2 = M_2 - M_1^2 \] \[ \mu_3 = M_3 - 3M_1M_2 + 2M_1^3 \] \[ \mu_4 = M_4 - 4M_1M_3 + 6M_1^2M_2 - 3M_1^3 \]

Uygulama: Aşağıda 7 değerden oluşan x serisi verilmiştir.

x = 10, 12, 14, 14, 16, 18, 20

Serinin 1’den 4. Dereceye kadar olan momentlerini sıfıra, aritmetik ortalamaya ve König Teoremine göre bulunuz.


Sıfıra göre momentler:

(xi)
(xi)2
(xi)3
(xi)4
10
100
1000
10000
12
144
1728
20736
14
196
2744
38416
14
196
2744
38416
16
256
4096
65536
18
324
5832
104976
20
400
8000
160000
Toplam (Σ)
104
1616
26144
438080
\[ M_1 = { \Sigma x_i \over n } = { 104 \over 7 } = 14.86 \]
\[ M_2 = { \Sigma x_i^2 \over n } = { 1616 \over 7 } = 230.86 \]
\[ M_3 = { \Sigma x_i^3 \over n } = { 26144 \over 7 } = 3734.86 \]
\[ M_4 = { \Sigma x_i^4 \over n } = { 438080 \over 7 } = 62582.86 \]

Aritmetik ortalamaya göre momentler:

x̄ = 15

(xi - x̄)
(xi - x̄)2
(xi - x̄)3
(xi - x̄)4
(10 – 15)
(10 – 15)2
(10 – 15)3
(10 – 15)4
(12 – 15)
(12 – 15)2
(12 – 15)3
(12 – 15)4
(14 – 15)
(14 – 15)2
(14 – 15)3
(14 – 15)4
(14 – 15)
(14 – 15)2
(14 – 15)3
(14 – 15)4
(16 – 15)
(16 – 15)2
(16 – 15)3
(16 – 15)4
(18 – 15)
(18 – 15)2
(18 – 15)3
(18 – 15)4
(20 – 15)
(20 – 15)2
(20 – 15)3
(20 – 15)4
Toplam (Σ)
-1
71
-1
1415
\[ M_1 = { \Sigma (x_i - \bar x) \over n } = { -1 \over 7 } = -0.14 \]
\[ M_2 = { \Sigma (x_i - \bar x)^2 \over n } = { 71 \over 7 } = 10.14 \]
\[ M_3 = { \Sigma (x_i - \bar x)^3 \over n } = { -1 \over 7 } = -0.14 \]
\[ M_4 = { \Sigma (x_i - \bar x)^4 \over n } = { 1415 \over 7 } = 202.14 \]

König Teoremine göre momentler:

\[ \mu_2 = M_2 - M_1^2 = 230.86 - 14.86^2 = 10.04 \] \[ \mu_3 = M_3 - 3M_1M_2 + 2M_1^3 = 3734.86 - 3(14.86)(230.86) + 2(14.86)^3 = 5.88 \] \[ \mu_4 = M_4 - 4M_1M_3 + 6M_1^2M_2 - 3M_1^3 \] \[ = 62582.86-4(14.86)(3734.86)+6(14.86)^2 (230.86)-3(14.86)^4 \] \[ \mu_4 = 169.37 \]

Çarpıklık

Asimetri ya da Çarpıklık (Skewness) seri değerlerinin başta mı yoksa sonda mı yoğunlaştığını tespit etmemize yarayan istatistik ölçüsüdür.

Serileri incelediğimizde her seri aynı özelliğe sahip olmayabilir. Örneğin ortalaması ve standart sapması eşit olan iki seriden birindeki değerler başlangıç değerleri etrafında yoğunlaşırken ikinci serideki değerler son değerler etrafında yoğunlaşabilir. Bu şekilde serilerin simetrik dağılıp dağılmadığına bakarız. Seriler simetrik dağılmadığında adına asimetrik dağılım (skewed distribution, asymmetrical distribution) deriz.2

simetrik dağılım

Simetrik dağılımlarda Mod = Medyan = Ortalama birbirine eşittir. Normal dağılım, simetrik dağılıma en iyi örnektir.

pozitif simetrik dağılım

Pozitif asimetrik dağılımlarda Mod > Medyan > Ortalama ilişkisi vardır. Bu dağılımlar aynı zamanda “sağa çarpık” olarak adlandırılır.

negatif simetrik dağılım

Negatif asimetrik dağılımlarda Ortalama > Medyan > Mod ilişkisi vardır. Bu dağılımlar aynı zamanda “sola çarpık” olarak adlandırılır.

Tam simetrik ya da tam simetriğe yakın serilerde şu ilişki vardır:

\[ \bar x - Mod = 3(\bar x - \tilde x) \]

x̄: Aritmetik Ortalama, x̃: Medyan


Çarpıklık (Asimetri) Ölçüleri

Çarpıklık ölçüleri

olmak üzere 3’e ayrılır.

Pearson Asimetri Ölçüsü

\[ AS_P = { { 3(\bar x - \tilde x) } \over s } \]

x̄: Aritmetik Ortalama, x̃: Medyan, s: Standart Sapma

Ortalamaya dayanan asimetri ölçüsüdür. -3 ve +3 arasında değer alır. 0’ın altında olduğu durumlarda sola çarpık negatif asimetrik dağılımdan, 0’ın üzerinde olduğu durumlarda ise sağa çarpık pozitif asimetrik dağılımlardan söz edilir. Tam simetri durumunda 0 değerini verir.

Bowley Asimetri Ölçüsü

\[ AS_B = { { (Q_3 - Q_2) - (Q_2 - Q_1) } \over { (Q_3 - Q_2) + (Q_2 - Q_1) } } \]

Kartillere dayanan asimetri ölçüsüdür. -1 ve +1 arasında değer alır. 0’ın altında olduğu durumlarda sola çarpık negatif asimetrik dağılımdan, 0’ın üzerinde olduğu durumlarda ise sağa çarpık pozitif asimetrik dağılımlardan söz edilir. Tam simetri durumunda 0 değerini verir.

Momentlere Dayanan Asimetri Ölçüsü

\[ \alpha_3 = { M_3 \over \sigma^3 } = { M_3 \over \sqrt{M_2^3} } \]

Momentler yardımıyla hesaplanan bu çarpıklık ölçüsünde sonuç 0’dan küçükse sola çarpık negatif asimetrik dağılımdan, 0’dan büyükse sağa çarpık pozitif asimetrik dağılımdan söz edilir. Tam simetri durumunda 0 değerini verir.

Aritmetik ortalamaya göre 3. dereceden moment asimetri ölçüsü olarak bilinir. Bu sebeple α3 ile gösterilir.


Uygulama: Aşağıda 12 değerden oluşan x serisi verilmiştir.

x = 10, 10, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 14, 16, 20

Serinin çarpıklığını Pearson, Bowley ve Momentlere Dayanan Asimetri ölçülerine göre yorumlayınız.


Pearson Asimetri Ölçüsüne göre öncelikle ortalama ve medyan değerleri bulunmalıdır.

\[ \bar x = { \Sigma x_i \over n } = { 153 \over 12 } = 12.75 \] \[ \tilde x = { { x_{n \over 2} + x_{ {n \over 2} + 1 } } \over 2 } = { { x_6 + x_7 } \over 2 } = { { 12 + 12 } \over 2 } = 12.00 \] \[ s = \sqrt{ { \Sigma (x_i - \bar x)^2 } \over n - 1 } = \sqrt{ 86.25 \over 11 } = \sqrt{ 7.1875 } = 2.80 \]
\[ AS_P = { { 3(\bar x - \tilde x) } \over s } = { { 3(12.75 - 12.00) } \over 2.80 } = 0.80 \]

1.00’a yakın pozitif bir asimetri ölçüsü söz konusudur. Bu sebeple hafif sağa çarpık pozitif asimetrik dağılımdan söz edilebilir.


Bowley Asimetri Ölçüsüne göre Q4 dışında tüm kartil değerleri bulunmalıdır.

\[ Q_1 = x_{ {n+2} \over 4} = x_{ 12+2 \over 4} = x_{3.50} = { {x_3 + x_4} \over 2 } = { { 11 + 12 } \over 2 } = 11.50 \]
\[ Q_2 = \tilde x ={ { x_{ {n} \over 2} } + { x_{ { {n} \over 2} + 1 } } \over 2 } = 12.00 \]
\[ Q_3 = x_{ {3n+2} \over 4} = x_{ 38 \over 4 } = x_{9.50} = { {x_9 + x_{10}} \over 2 } = { { 12 + 14 } \over 2 } = 13.00 \]
\[ AS_B = { { (Q_3 - Q_2) - (Q_2 - Q_1) } \over { (Q_3 - Q_2) + (Q_2 - Q_1) } } = { { (13 - 12) - (12 - 11.50) } \over { (13 - 12) + (12 - 11.50) } } = 0.33 \]

Pearson Asimetri ölçüsünde olduğu gibi 1.00’a yakın pozitif asimetri söz konusudur. Bu sebeple hafif sağa çarpık pozitif asimetrik dağılımdan söz edilebilir.


Momentlere Dayanan Asimetri Ölçüsüne göre serinin 3. dereceden momentini bulmamız yeterlidir. Standart sapmayı Pearson Asimetri Ölçüsünde hesaplamıştık.

\[ M_3 = { \Sigma (x_i - \bar x)^3 \over n } = { 367.88 \over 12 } = 30.66 \]
\[ \alpha_3 = { M_3 \over \sigma^3 } = { 30.66 \over 2.80^3 } = { 30.66 \over 21.96 } = 1.40 \]

Bulunan asimetri ölçüsü 0’ın üzerinde olduğu için sağa çarpık pozitif asimetrik dağılımdan söz edilir. 3 asimetri ölçüsünde de seri değerlerinin pozitif asimetrik dağıldığı ve dağılım sağa çarpık olduğu sonucuna varılmıştır.


Basıklık

Basıklık (Kurtosis) seri değerlerinin ortalama etrafında ne kadar yoğunlaşıp yoğunlaşmadıklarının ölçüsüdür.

Ortalama etrafında yoğunlaşan seriler sivri bir görünüme sahip olup standart sapmaları düşüktür. Ortalamadan uzaklaşan seriler ise basık bir görünüme sahip standart sapmaları yüksektir. Normal dağılımlar ise ne sivri ne de basık bir görünüme sahiptir. Simetrik görünüm sergiler.

basıklık

Aritmetik ortalamaya göre 4. dereceden moment, basıklık (kurtosis) ölçüsü olarak bilinir ve α4 ile gösterilir.

\[ \alpha_4 = { M_4 \over \sigma^4 } = { M_4 \over \sqrt{M_2^2} } \]

Basıklık ölçüsü 3’e eşitse seri normal yükseklikte, 3’ten küçükse seri basık, 3’ten büyükse serinin sivri olduğu söylenir. Özetle kurtosiste ölçünün 3’ten büyük olup olmamasına bakılır.


Uygulama: Aşağıda 12 değerden oluşan x = 10, 10, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 14, 16, 20 serisinin basıklık ölçüsünü hesaplayınız.


Basılık ölçüsünü bulabilmek için serinin 4. dereceden momentini ve standart sapmasını bulmamız yeterlidir.

\[ s = \sqrt{ { \Sigma(x_i - \bar x)^2 } \over n - 1 } = \sqrt{ 86.25 \over 11 } = \sqrt{ 7.1875 } = 2.80 \]
\[ M_4 = { \Sigma (x_i - \bar x)^4 \over n } = { 3002.48 \over 12 } = 250.21 \]
\[ \alpha_4 = { M_4 \over \sigma^4 } = { 250.21 \over 2.80^4 } = { 250.21 \over 61.48 } = 4.07 \]

Bulunan sonuç 3’ten büyük olduğu için serinin sivri bir dağılım sergilediği sonucuna ulaşılabilir.


SPSS'te Çarpıklık ve Basıklık

SPSS'te çarpıklık (skewness) ve basıklık (kurtosis) değerlerini hesaplamak basittir.

spss'te çarpıklık ve basıklık
Büyütmek için görselin üzerine geliniz ya da tıklayınız.

Seri değerleri girildikten sonra menüden Analyze > Descriptive Statistics > Descrpitives... yolu izlenir.

spss'te çarpıklık ve basıklık
Büyütmek için görselin üzerine geliniz ya da tıklayınız.

Değişken Variable(s) alanına aktarıldıktan sonra Options'a tıklanır.

spss'te çarpıklık ve basıklık
Büyütmek için görselin üzerine geliniz ya da tıklayınız.

Açılan pencerede Kurtosis (Basıklık) ve Skewness (Çarpıklık) seçimleri yapılır. Continue'ya tıklanır.

spss'te çarpıklık ve basıklık
Büyütmek için görselin üzerine geliniz ya da tıklayınız.

Çıktı alanında Skewness (Çarpıklık) ve Kurtosis (Basıklık) değerleri standart sapmaları ile birlikte listelencektir.

SPSS'in çarpıklık ve basıklık hesaplaması biraz önce öğrendiğimiz yöntemden farklıdır. SPSS çarpıklık ve basıklık değerlerini hesaplarken normalleştirme (normalization) yöntemini uygulamaktadır. Buna göre skewness (çarpıklık) değeri +1'den yüksekse sağa çarpık, -1'den azsa sola çarpık bir dağılım söz konusudur. Çarpıklık değeri -1 ve +1 arasında ise asimetriden söz edilmez. Aynı şekilde kurtosis (basıklık) değeri +1'den yüksekse leptokurtik olarak adlandırılan sivri uçlu dağılım, -1'den küçükse platykurtik olarak adlandırılan basık dağılım söz konusudur. Kurtosis -1 ve +1 arasında ise basık olmayan normal dağılımdan söz edilir. Örneğimizde skewness 1.828 hesaplanmıştır. +1'den büyük olduğu için seri sağa çarpık bir dağılım sergilemiştir. Kurtosis ise 3.662 hesaplanmıştır. Yine +1'den büyük olduğu için sivri uçlu dağılım söz konusudur. Sonuç olarak serimiz sağa çarpık sivri uçlu bir dağılımdır.

spss'te çarpıklık ve basıklık
Büyütmek için görselin üzerine geliniz ya da tıklayınız.

Eğer çarpıklık ve basıklık değerlerini grafikleştirmek istersek öncelikle menüden Analyze > Descriptive Statistics > Frequencies... yolunu izlemeliyiz.

spss'te çarpıklık ve basıklık
Büyütmek için görselin üzerine geliniz ya da tıklayınız.

Display frequency tables seçeneğini kaldırdıktan sonra değişkenimizi Variable(s) alanına taşımalıyız. Ardından Charts düğmesine tıklıyoruz.

spss'te çarpıklık ve basıklık
Büyütmek için görselin üzerine geliniz ya da tıklayınız.

Açılan sayfada Histograms ve bir altındaki kutucuğu seçiyoruz. Continue'ya, ardından OK'a tıklıyoruz.

spss'te çarpıklık ve basıklık
Büyütmek için görselin üzerine geliniz ya da tıklayınız.

Çıktı penceresinde dağılımın sivri uçlu sağa çarpık bir dağılım olduğu teyit edilebilir. Gözlem değerlerimiz az olduğu için bu tür örneklerde çarpıklık ve basıklık net olarak görülemeyebilir. Buna rağmen gözlem değerleri, yani veri birimlerin sayısı arttıkça serinin çarpıklık ve basıklık durumu hakkında daha kapsamlı sonuçlara ulaşılabilir.


Sıra Sizde

Uygulama:

A serisinin

B serisinin

bulunmuştur. İki serinin çarpıklık ve basıklık değerlerini yorumlayınız.

Yanıtı Göster

A serisinin Pearson Asimetri Ölçüsü 0'dan büyük olduğu için sağa çarpık pozitif asimetrik dağılım, Basıklık Ölçüsü 3'ten büyük olduğu için sivri uçlu dağılım sergilendiğinden söz edilebilir.

B serisinin Pearson Asimetri Ölçüsü 0'dan küçük olduğu için sola çarpık negatif asimetrik dağılım, Basıklık Ölçüsü 3'ten küçük olduğu için basık dağılım sergilendiğinden söz edilebilir.


1 İngilizce adı da momenttir.
2 Dağılım, simetrikse ve aykırı değerler yoksa aritmetik ortalama, asimetrikse ve aykırı değerler varsa medyan kullanımı tercih edilir.
3 Galton Asimetri Ölçüsü olarak da bilinir.
<<< Önceki Konu
Sonraki Konu >>>